OA-27 Fraktale Strukturen in Sandhaufen: Ein Rätsel der Mathematik

Dr. Moritz Lang [1]
Dr. Mikhail Shkolnikov [2]

[1] Forschungsgruppe Guet, IST Austria
[2] Forschungsgruppe Hausel, IST Austria

Fachgebiet: Mathematik
Was ist es: Wenn Sand langsam auf einen Tisch rieselt, bilden sich erst kleine Berglandschaften, die mit der Zeit instabil werden und sich schlagartig in Form von Lawinen entladen. Der „Abelsche Sandhaufen“ ist ein abstraktes und, zugegebener Weise, eher unrealistisches mathematisches Modell dieses Prozesses. In diesem Modell wird der Tisch als ein schachbrettartiges Raster begriffen, wobei auf jedem Feld des Schachbrettes maximal drei Sandkörner liegen dürfen. Wenn diese Grenze überschritten wird weil weiterer Sand auf ein bereits volles Feld rieselt, wird dieses Feld instabil und kippt: Vier Sandkörner werden von ihm entfernt, während auf jedes der benachbarten Felder ein Sandkorn gelegt wird. Bei Feldern am Rand des Tisches bedeutet dies, das einige überschüssige Sandkörner herunterfallen und daher „verschwinden“. Durch das Kippen eines Feldes kann eines oder mehrere seiner benachbarten Felder instabil werden, was zu „Lawinen“ von unzähligen nacheinander kippenden Feldern führen kann. Sie mögen sich fragen warum die mathematische Forschung an solch einen simplen Modell Interesse zeigt? Nun, es stellt sich heraus, dass es immer möglich ist zu einen gegebenen Sandhaufen Sand so dazuzugeben, dass, nachdem alle Lawinen abgeebbt sind, der resultierende Sandhaufen exakt der selbe wie der Sandhaufen mit dem man begonnen hat. Mathematisch ist dies sehr ähnlich als wenn man zu einer Zahl Null dazuzählt oder eine Zahl mit Eins multipliziert. Wenn wir uns anschauen, wo wir wie viele Sandkörner hinzufügen müssen damit der Sandhaufen sich nicht ändert, entdecken wir ein wunderschönes fraktales Muster, das sich bis jetzt allen Bemühungen einer mathematischen Beschreibung entzogen hat. Wir zeigen, dass es möglich ist dieses fraktale Muster zum „Schwingen“ anzuregen, beobachtbar in psychodelisch wirkenden Filmen von denen wir annehmen, dass sie zukünftig viel der mathematischen Struktur, die sich in „Sandhaufenmodell“ versteckt, enthüllen.